Soru Sor
Sorunu sor hemen cevaplansın.
Temel Kurallar
Binom iki terimli demektir ve (x+y)n şeklinde bir iki terimlinin n. üssünü açtığımızda neler olduğu ile ilgilidir.
Binom açılımına bildiğimiz iki binom açılımının özelliklerini inceleyerek başlayalım. Tam kare açılımı ve küp açılımı, çarpanlara ayırma konusundan bilmemiz gereken açılımlar:
(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
İlk dikkat edeceğimiz özellik üs 2 iken binom açıldığında terim sayısı üç oldu. Üs 3'ken yani kübün açılımında da terim sayısı dört oldu. Beklenebileceği gibi üs n iken terim sayısı n+1'dir. Yani
(x+y)n
açıldığında n+1 terim çıkar.
İkinci önemli nokta, karenin açılımında bütün terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı 2 ve kübün açılımında da 3'tür.
Karenin açılımında ilk terim x2, ikinci terim 2xy=2x1y1 ve son terim de y2'dir ve üsler toplamı hep 2'dir. Küp açılımında ilk terim x3, ikinci terim katsayıyı önemsemezsek x2y, ve diğer iki terimde de üsler toplamı 3'tür. Hem karede hem de küpte, ilk ve son terimde bir tane değişken görünse de, ikinci değişken de ordaymış gibi düşünebiliriz. Örneğin karedeki ilk terimi x2 yerine x2y0 gibi küpteki son terim olan y3'ü de x0y3 gibi düşünebiliriz.
Bunu, aşağıdaki iki sonucun her yerde geçerli olabilmesi için yapıyoruz:
(x+y)n açılımından (n+1) terim çıkar.
Bütün terimlerde iki değişken de vardır ve üsleri toplamı n'dir. Birinci değişkenin üssü n'den başlar ve birer birer azalır, ikinci değişkenin üssü 0'dan başlar ve birer birer artar.
İkinci maddedeki sonucu küpte inceleyelim, birinci değişken x'in üssü 3'ten başlıyor ve birer birer azalıyor ve y'nin ki de birer birer artıyor. Katsayıları düşünmezsek terimler şöyle
x3y0x2y1x1y2x0y3
Buraya kadar vurguladığımız sonuçlarla (x+y)6'nın açılımı için şunları yazabiliriz.
(x+y)7=x7+x6y+x5y2+x4y3+x3y4+x2y5+xy6+y7
Önemli iki noktamız kaldı. Birincisi terimlerin başındaki katsayıların bulunuşu ve ikincisi de, bu uzun açılımı yapmadan istediğimiz bir terimi yazmanın yolları.
Önce ikinci noktadan başlayalım. Örneğin yukarda 7. dereceden açılım yaptık. Bu açılımı yapmadan 5. terimi yazabilir miydik ?
Bunun için y'nin üssünü kullanacağız, birinci terimde y'nin üssü 0, ikinci terimde 1, beşinci terimde 4, demek ki kaçıncı terimde isek y'nin üssü bu sayının 1 düşüğü.
Örneğin (x+y)11 açılımında 7. terimi yazmaya çalışalım. 7. terim istendiği için y'nin üssü 6'dır. İki değişkenin üsleri toplamı her terimde 11 olmalıydı. Demek ki terim x5y6 şeklindedir.
Geriye katsayıların nasıl bulunacağı kaldı. Katsayılar için kombinasyon formülü kullanacağız. Önce formülü hatırlayalım. n'nin r'li kombinasyonu
(nr)=n!r!(n−r)!
(x+y)n açılımında a+b=n olmak üzere (üsler toplamı hep n) xayb şeklindeki bir terimin katsayısı (na) ya da (nb)'dir. Kaçıncı üssü açıyorsak onu kombinasyonda üste koyuyoruz ve değişkenlerden birinin üssünü de (istediğimizi seçebiliriz) alta koyuyoruz.
Terim x5y6 şeklinde olduğundan, yukarıda (x+y)11 açılımında 7. terimin katsayısı,
(116)=11!6!(11−6)!=11⋅10⋅9⋅8⋅75!=462
Örnek
(x+3y)8 açılımında 5. terim nedir ?
Çözüm
5. terim sorulduğundan ikinci değişkenin üssünün 4 olduğunu anlıyoruz. Dikkat edelim burada ikinci değişkeni katsayısı ile birlikte almalıyız.
x?⋅(3y)4
8. üssü açtığımızdan üsler toplamı 8 olmalıdır dolayısıyla
x4⋅(3y)4
Kombinasyon formülünden katsayı
(84)=70
Dolayısıyla terim
70x4(3y)4=5670⋅x4⋅y4
Bu terimin katsayısı sadece kombinasyondan gelen 70 değildir. 34'te katsayıdır ve bu iki sayı çarpılınca katsayı 5670'tir.
Örnek
(x2+2y)7 açılımında x6'lı terimin katsayısı kaçtır ?
Çözüm
x6 olabilmesi için x2'nin 3. üssü alınmış olmalıdır.
(x2)3⋅(2y)?
Üsler toplamı 7 olmalıdır dolayısıyla (2y)'nin üssü 4 olmalıdır.
(x2)3⋅(2y)4
Katsayı kombinasyondan
(74)=35
Dolayısıyla terim
35⋅x6⋅24⋅y4=560⋅x6⋅y4
(x+y)5'e kadar kombinasyon yerine paskal üçgenini de kullanabiliriz. Kare açılımında terimlerin katsayıları
1 2 1
Küpün açılımında terimlerin katsayıları
1 3 3 1
Bunlar Paskal üçgeninin ikinci ve üçüncü satırlarıdır. Paskal üçgeni, kenarları 1 olan ve içerideki elemanları da üstteki iki elemanın toplamı olan aşağıdaki üçgendir.
paskal üçgeni
Geriye sadece aradaki işaret − olduğunda ne yapacağımız kaldı.
(x−y)n
şeklindeki bir ifadenin açılımında tek terimler +, çift terimler −'dir. Gene bildiğimiz bir açılımı hatırlayalım
(x−y)2=x2−2xy+y2
Birinci terim pozitif, ikinci terim negatif ve üçüncü terim pozitif.
İşareti de kapsayan bir örnek daha çözelim.
Binom Açılımının Özellikleri
(x+y)n açılımında:
1) n+1 tane terim vardır.
2) Her terimdeki üsler toplamı n dir.
3) Açılım, x in azalan kuvvetlerine göre sıralandığında, baştan r+1 inci terim C(n,r).xn-r.yr dir.
4) Katsayılar toplamı; x ve y terimlerinin tüm katsayıları toplamı bulunması için bütün değişkenlere (x,y,..) 1 verilerek hesaplanır.
5) Sabit terim; sabit terim bu açılımda xli veyli terim bulunmayan terime denir. BU terimi bulmak için bütün değişkenlere 0 verilir.
Tarih: 2020-03-26 07:48:06 Kategori: Matematik
Soru Tarat
Kitaptan sorunu tarat hemen cevaplansın.
Sorunu sor hemen cevaplansın.
Binom Açılımı - Binom Açılımı Özellikleri Nedir
Binom iki terimli demektir ve (x+y)n şeklinde bir iki terimlinin n. üssünü açtığımızda neler olduğu ile ilgilidir.
Binom açılımına bildiğimiz iki binom açılımının özelliklerini inceleyerek başlayalım. Tam kare açılımı ve küp açılımı, çarpanlara ayırma konusundan bilmemiz gereken açılımlar:
(x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3
İlk dikkat edeceğimiz özellik üs 2 iken binom açıldığında terim sayısı üç oldu. Üs 3'ken yani kübün açılımında da terim sayısı dört oldu. Beklenebileceği gibi üs n iken terim sayısı n+1'dir. Yani
(x+y)n
açıldığında n+1 terim çıkar.
İkinci önemli nokta, karenin açılımında bütün terimlerde değişkenlerin üsleri toplamı 2 ve kübün açılımında da 3'tür.
Karenin açılımında ilk terim x2, ikinci terim 2xy=2x1y1 ve son terim de y2'dir ve üsler toplamı hep 2'dir. Küp açılımında ilk terim x3, ikinci terim katsayıyı önemsemezsek x2y, ve diğer iki terimde de üsler toplamı 3'tür. Hem karede hem de küpte, ilk ve son terimde bir tane değişken görünse de, ikinci değişken de ordaymış gibi düşünebiliriz. Örneğin karedeki ilk terimi x2 yerine x2y0 gibi küpteki son terim olan y3'ü de x0y3 gibi düşünebiliriz.
Bunu, aşağıdaki iki sonucun her yerde geçerli olabilmesi için yapıyoruz:
(x+y)n açılımından (n+1) terim çıkar.
Bütün terimlerde iki değişken de vardır ve üsleri toplamı n'dir. Birinci değişkenin üssü n'den başlar ve birer birer azalır, ikinci değişkenin üssü 0'dan başlar ve birer birer artar.
İkinci maddedeki sonucu küpte inceleyelim, birinci değişken x'in üssü 3'ten başlıyor ve birer birer azalıyor ve y'nin ki de birer birer artıyor. Katsayıları düşünmezsek terimler şöyle
x3y0x2y1x1y2x0y3
Buraya kadar vurguladığımız sonuçlarla (x+y)6'nın açılımı için şunları yazabiliriz.
(x+y)7=x7+x6y+x5y2+x4y3+x3y4+x2y5+xy6+y7
Önemli iki noktamız kaldı. Birincisi terimlerin başındaki katsayıların bulunuşu ve ikincisi de, bu uzun açılımı yapmadan istediğimiz bir terimi yazmanın yolları.
Önce ikinci noktadan başlayalım. Örneğin yukarda 7. dereceden açılım yaptık. Bu açılımı yapmadan 5. terimi yazabilir miydik ?
Bunun için y'nin üssünü kullanacağız, birinci terimde y'nin üssü 0, ikinci terimde 1, beşinci terimde 4, demek ki kaçıncı terimde isek y'nin üssü bu sayının 1 düşüğü.
Örneğin (x+y)11 açılımında 7. terimi yazmaya çalışalım. 7. terim istendiği için y'nin üssü 6'dır. İki değişkenin üsleri toplamı her terimde 11 olmalıydı. Demek ki terim x5y6 şeklindedir.
Geriye katsayıların nasıl bulunacağı kaldı. Katsayılar için kombinasyon formülü kullanacağız. Önce formülü hatırlayalım. n'nin r'li kombinasyonu
(nr)=n!r!(n−r)!
(x+y)n açılımında a+b=n olmak üzere (üsler toplamı hep n) xayb şeklindeki bir terimin katsayısı (na) ya da (nb)'dir. Kaçıncı üssü açıyorsak onu kombinasyonda üste koyuyoruz ve değişkenlerden birinin üssünü de (istediğimizi seçebiliriz) alta koyuyoruz.
Terim x5y6 şeklinde olduğundan, yukarıda (x+y)11 açılımında 7. terimin katsayısı,
(116)=11!6!(11−6)!=11⋅10⋅9⋅8⋅75!=462
Örnek
(x+3y)8 açılımında 5. terim nedir ?
Çözüm
5. terim sorulduğundan ikinci değişkenin üssünün 4 olduğunu anlıyoruz. Dikkat edelim burada ikinci değişkeni katsayısı ile birlikte almalıyız.
x?⋅(3y)4
8. üssü açtığımızdan üsler toplamı 8 olmalıdır dolayısıyla
x4⋅(3y)4
Kombinasyon formülünden katsayı
(84)=70
Dolayısıyla terim
70x4(3y)4=5670⋅x4⋅y4
Bu terimin katsayısı sadece kombinasyondan gelen 70 değildir. 34'te katsayıdır ve bu iki sayı çarpılınca katsayı 5670'tir.
Örnek
(x2+2y)7 açılımında x6'lı terimin katsayısı kaçtır ?
Çözüm
x6 olabilmesi için x2'nin 3. üssü alınmış olmalıdır.
(x2)3⋅(2y)?
Üsler toplamı 7 olmalıdır dolayısıyla (2y)'nin üssü 4 olmalıdır.
(x2)3⋅(2y)4
Katsayı kombinasyondan
(74)=35
Dolayısıyla terim
35⋅x6⋅24⋅y4=560⋅x6⋅y4
(x+y)5'e kadar kombinasyon yerine paskal üçgenini de kullanabiliriz. Kare açılımında terimlerin katsayıları
1 2 1
Küpün açılımında terimlerin katsayıları
1 3 3 1
Bunlar Paskal üçgeninin ikinci ve üçüncü satırlarıdır. Paskal üçgeni, kenarları 1 olan ve içerideki elemanları da üstteki iki elemanın toplamı olan aşağıdaki üçgendir.
paskal üçgeni
Geriye sadece aradaki işaret − olduğunda ne yapacağımız kaldı.
(x−y)n
şeklindeki bir ifadenin açılımında tek terimler +, çift terimler −'dir. Gene bildiğimiz bir açılımı hatırlayalım
(x−y)2=x2−2xy+y2
Birinci terim pozitif, ikinci terim negatif ve üçüncü terim pozitif.
İşareti de kapsayan bir örnek daha çözelim.
Binom Açılımının Özellikleri
(x+y)n açılımında:
1) n+1 tane terim vardır.
2) Her terimdeki üsler toplamı n dir.
3) Açılım, x in azalan kuvvetlerine göre sıralandığında, baştan r+1 inci terim C(n,r).xn-r.yr dir.
4) Katsayılar toplamı; x ve y terimlerinin tüm katsayıları toplamı bulunması için bütün değişkenlere (x,y,..) 1 verilerek hesaplanır.
5) Sabit terim; sabit terim bu açılımda xli veyli terim bulunmayan terime denir. BU terimi bulmak için bütün değişkenlere 0 verilir.
Tarih: 2020-03-26 07:48:06 Kategori: Matematik
Kitaptan sorunu tarat hemen cevaplansın.
Yorum Yapx